Ressources pédagogiques en Mathematiques


Algèbre1 : Opérations de base sur les nombres entiers et les rationnels
Collège 12-15 ans

1. Addition sur les entiers naturels. L'ensemble $\mathbb{N}$. Ordre croissant et décroissant
  1. Rappels sur l'addition des entiers naturels. L'ensemble $\mathbb{N}$ .
  2. L'addition est associative.
  3. Représenter l'associativité sur un axe gradué.
  4. L'addition est commutative.
  5. Représenter la commutativité sur un axe gradué.
  6. Utiliser l'associativité dans le calcul mental.
  7. L'ordre sur les entiers naturels : comparaison de deux entiers.
  8. Comparaison d'un entier naturel à un entier et à une somme.
  9. Ranger un ensemble d'entiers naturels dans un ordre croissant et décroissant.
  10. Activité libre.
2. Addition et soustraction sur les entiers relatifs. L'ensemble $\mathbb{Z}$. Comparer deux entiers.
  1. La soustraction arithmétique.
  2. Une soustraction impossible sur l'ensemble $\mathbb{N}$.
  3. Elargir l'ensemble $\mathbb{N}$ à l'ensemble des entiers relatifs $\mathbb{Z}$.
  4. Addition et soustraction de deux entiers naturels sur un axe.
  5. Règles de l'addition sur les entiers relatifs. Représentation sur un axe gradué.
  6. Calcul de la somme de deux entiers relatifs, en utilisant leurs représentations sur un axe gradué.
  7. Propriétés de base de l'addition sur l'ensemble $\mathbb{Z}$.
  8. Mais où donc est passée la soustraction ?
  9. Ordonner les entiers relatifs.
  10. Ranger un ensemble d'entiers relatifs dans un ordre croissant et décroissant.
3. La soustraction permet de simplifier une somme algébrique.
  1. Définition de l'opération algébrique soustraction. Lien avec l'addition.
  2. Transformer une soustraction en addition.
  3. Transformer une addition en soustraction.
  4. Eliminer les parenthèses dans une expression algébrique.
  5. Simplifier puis calculer des expressions algébriques.
  6. Calculer une expression algébrique, donnée sous forme littérale.
  7. L'opposé d'une somme algébrique est la somme des opposés des termes qui y figurent.
  8. Calcul d'expressions comportant des additions/soustractions et des parenthèses.
4. Multiplication sur les entiers relatifs. Règle des signes.
  1. Rappels sur la multiplication des entiers naturels. La multiplication est associative.
  2. Ecriture d'un produit de facteurs. Omettre le signe × (multiplication).
  3. La multiplication est commutative.
  4. Extension de la multiplication à un seul facteur négatif.
  5. Extension de la multiplication à des entiers relatifs quelconques.
  6. Effectuer le produit de facteurs numériques. Propriétés de symétrie de produits de facteurs.
  7. Produits de facteurs numériques formés de sommes / différences d'entiers relatifs.
5. Distributivité et mise en facteurs. Pourquoi " - " par " - " = + '
  1. Distributivité de la multiplication par rapport à l'addition et à la soustraction.
  2. Appliquer à deux reprises la distributivité.
  3. Visualiser la distributivité par des aires de rectangles.
  4. Principe de la mise en facteurs : utiliser la distributivité.
  5. Factoriser des expressions simples.
  6. Pourquoi le produit de deux nombres négatifs est-il positif ?
  7. Montrer que le produit de deux nombres négatifs est positif à partir d'aires de rectangles.
  8. Termes et facteurs. Règles des signes.
  9. Utiliser la distributivité et la factorisation sur des calculs numériques.
6. Puissances entières positives sur l'ensemble $\mathbb{Z}$.
  1. Définition et notation puissance. Valeurs de quelques puissances d'entiers naturels.
  2. Calculer des puissances d'entiers naturels.
  3. Valeurs de quelques puissances d'entiers négatifs.
  4. Savoir calculer les puissances des entiers négatifs.
  5. Multiplication de puissances entières positives d'un entier relatif.
  6. Calculer le produit de deux puissances.
  7. Dénomination des puissances positives de 10.
  8. Trouver le nom de puissances positives de 10.
7. Additions et soustractions d'entiers relatifs. Multiplications et puissances.
  1. Regrouper les additions et les soustractions d'entiers relatifs puis effectuer.
  2. Multiplier des puissances de nombres relatifs.
  3. Simplifier une expression sans parenthèse, du premier degré dans une variable.
  4. Simplifier des expressions avec parenthèses, du premier degré dans une variable.
  5. Simplifier une expression sans parenthèse, du premier degré dans 2 ou 3 variables.
  6. Simplifier une expression avec parenthèses, du premier degré dans 2 ou 3 variables.
  7. Simplifier une expression sans parenthèse, du second degré dans une variable.
  8. Multiplier des puissances faisant intervenir une, deux ou trois variables.
8. Factorisations numériques, nombres premiers, PPCM et PGCD. Algorithme d'Euclide.
  1. Factorisation d'un entier naturel. Nombres premiers. Utilisation de l'outil " Prem ".
  2. Etablir qu'un entier naturel est premier.
  3. Liste des nombres premiers inférieurs à 100.
  4. Factoriser des entiers naturels en puissances de nombres premiers.
  5. Plus petit commun multiple (PPCM). Exemples.
  6. Représentation géométrique du PPCM de deux entiers naturels.
  7. Calculer le PPCM de nombres entiers factorisés en nombres premiers.
  8. Plus grand commun diviseur (PGCD). Détermination en factorisant en nombres premiers.
  9. Détermination du PGCD par l'algorithme d'Euclide.
  10. Calculer le PGCD par la méthode de factorisation et par la méthode d'Euclide.
  11. Exercices du Brevet utilisant l'algorithme d'Euclide.
9. Elargir l'ensemble $\mathbb{Z}$ pour inclure les nombres fractionnaires. L'ensemble $\mathbb{Q}$. Les décimaux.
  1. Un exemple de division possible sur l'ensemble $\mathbb{Z}$.
  2. Un exemple de division impossible sur l'ensemble $\mathbb{Z}$.
  3. Formes équivalentes d'un nombre fractionnaire. Forme irréductible.
  4. Trouver des formes équivalentes d'une fraction donnée. Forme irréductible d'une fraction.
  5. Forme irréductible d'une fraction en utilisant le pgcd.
  6. Forme irréductible d'une fraction en utilisant l'algorithme d'Euclide.
  7. Fractions négatives, fractions positives. Correspondance avec un point de l'axe gradué.
  8. Identifier une fraction positive par l'équation à laquelle elle satisfait.
  9. Les nombres décimaux : des fractions pratiques. Notation décimale avec une virgule ou un point.
  10. Reconnaître si une fraction est décimale et si oui, l'écrire sous cette forme.
  11. Ecrire un nombre décimal sous forme de fraction. Remplacer la puissance de 10 par une virgule.
10. Addition / Soustraction et comparaison de fractions numériques.
  1. Logique conduisant à la règle d'addition des fractions.
  2. Réduire au même dénominateur pour additionner / soustraire des fractions.
  3. Additionner deux fractions positives puis simplifier si possible.
  4. Combien sommes-nous du même âge ?
  5. Trajet d'un chef de secteur.
  6. Le plus petit dénominateur commun de deux ou plusieurs fractions : c'est leur ppcm p.
  7. Somme de fractions de signes quelconques.
  8. Exercice résolu. Utilisation du PPCM.
  9. Additionner deux fractions en utilisant le plus petit dénominateur commun.
  10. Additionner trois fractions en utilisant le plus petit dénominateur commun.
  11. Comparaisons de fractions.
11. Multiplication de fractions. Puissance n-ème d'une fraction. Pourcentages et intérêts.
  1. Multiplication d'une fraction, division d'une fraction, par un entier positif.
  2. Multiplication de deux fractions. Règle des signes.
  3. La multiplication des fractions.
  4. Multiplier deux fractions simples et simplifier.
  5. Exercices sur la multiplication de fractions.
  6. Utiliser la décomposition en nombres premiers pour simplifier le produit de deux fractions.
  7. Tracer une figure dans un carré. Déterminer la fraction de l'aire du carré qu'elle représente.
  8. Les pourcentages et leurs applications : intérêts simples, taxes, compositions d'alliages ...
  9. Exercices sur les pourcentages.
  10. Intérêts composés.
  11. Comparaisons des intérêts composés aux intérêts simples.
12. Inverse d'une fraction. Division de deux fractions. L'algèbre sur l'ensemble des fractions $\mathbb{Q}$.
  1. L'ensemble $\mathbb{Z}$ est un sous-ensemble de $\mathbb{Q}$. Elément neutre et élément symétrique de l'addition.
  2. Elément neutre de la multiplication. Inverse d'une fraction non nulle.
  3. Savoir calculer le symétrique et l'inverse d'une fraction.
  4. Résumé des propriétés de base de l'addition et de la multiplication sur l'ensemble $\mathbb{Q}$.
  5. Mais où est donc passée la division?
  6. Utiliser la distributivité pour calculer des nombres fractionnaires.
  7. Quotient de deux nombres décimaux. Dans quel cas le quotient est-il un nombre décimal?
  8. Quotient de deux sommes de fractions.
  9. Utiliser la décomposition en nombres premiers pour simplifier le quotient de 2 fractions.
  10. Extraire la partie entière d'une fraction et déterminer la fraction complémentaire.
  11. Simplifier l'écriture d'une fraction en extrayant sa partie entière.
13. Puissances sur l'ensemble $\mathbb{Q}$. Multiplication de puissances. Notation scientifique.
  1. Puissances entières positives d'une fraction.
  2. Savoir calculer des puissances de fractions.
  3. Multiplication et division de puissances, x0 = 1 (x ≠ 0).
  4. Dénomination des puissances négatives de 10.
  5. Notation scientifique ou canonique des nombres décimaux.
  6. Ecrire des nombres supérieurs à 1 et des nombres inférieurs à 1 en notation scientifique.
  7. Produit et quotient de puissances d'une variable.
  8. Elever la puissance d'une variable à une puissance.
  9. Opération sur les puissances d'une variable.
  10. Puissance d'un produit de puissances de plusieurs variables.
  11. Connaître les règles de calcul sur les puissances.
  12. Puissances faisant intervenir plusieurs variables.
14. Egalités et équations sur l'ensemble $\mathbb{Q}$. Transposition des termes et des facteurs.
  1. Egalités, identités, équations.
  2. Propriétés de base des égalités. Ajouter un même nombre aux deux membres.
  3. Regrouper des termes d'une équation en transposant.
  4. Ecrire des égalités équivalentes en utilisant les opposés.
  5. Distance restant à parcourir.
  6. Amputer un rectangle pour le transformer en carré.
  7. Organiser les termes d'une équation linéaire et la résoudre.
  8. Equivalence entre égalités résultant de l'unicité de l'inverse d'un nombre.
  9. Multiplication ou division des deux membres d'une égalité par un même nombre.
  10. Solutions d'équations linéaires de la forme ax = b où a et b sont des fractions.
  11. Traduire des problèmes en équations et les résoudre.
15. Addition soustraction membre à membre. Multiplication division membre à membre.
  1. Addition/soustraction de deux égalités membres à membre. Application.
  2. Relation de Chasles. Mesure algébrique d'un segment. Abscisse de son milieu.
  3. Trouver deux nombres x et y de somme s et de différence d. Interprétation géométrique.
  4. Opérations permises sur les égalités résultant de l'unicité du produit. Produit et quotient.
  5. Trouver les côtés d'un champ rectangulaire dont on connaît l'aire et le rapport des côtés.
16. Résoudre des équations linéaires.
  1. Equations linéaires sans parenthèses à coefficients dans $\mathbb{Z}$.
  2. Equations linéaires avec parenthèses à coefficients dans $\mathbb{Z}$.
  3. Equations linéaires sans parenthèses à coefficients dans $\mathbb{Q}$.
  4. Equations linéaires avec parenthèses à coefficients dans $\mathbb{Q}$.
  5. Equations à coefficients dans $\mathbb{Z}$ où les termes du second degré s'éliminent.
  6. Equations à coefficients dans $\mathbb{Q}$ où les termes du second degré s'éliminent.
17. Poser et résoudre des équations linéaires à une inconnue.
  1. Chez le fromager.
  2. Au concert.
  3. Un rapport d'âges.
  4. Monsieur Festif au restaurant.
  5. A la campagne.
  6. A la bourse.
  7. Des aiguilles qui jouent à cache-cache.

Algèbre 2 : Identités. Inégalités. Equations et Fonctions linéaires et quadratiques
Collège-Lycée 15-17 ans

1. Relation d'ordre sur l'ensemble des entiers relatifs $\mathbb{Z}$
  1. Relation d'ordre sur l'ensemble $\mathbb{N}$.
  2. Comparer deux entiers naturels.
  3. Extension de la relation d'ordre à l'ensemble $\mathbb{Z}$.
  4. Comparer des entiers relatifs.
  5. Sous-ensemble de $\mathbb{Z}$ défini par une inégalité.
  6. Représenter des entiers qui satisfont à une inégalité.
  7. Sous-ensemble de $\mathbb{Z}$ défini par un encadrement.
  8. Représenter un encadrement et dénombrer le nombre d'entiers relatifs qu'il contient.
  9. Activité libre.
2. Ordonner l'ensemble des fractions $\mathbb{Q}$. Invariance par translation.
  1. Comparaison de deux fractions positives.
  2. Comparaison de deux fractions de signes quelconques.
  3. L'ordre de deux nombres dépend du signe de leur différence.
  4. Ordonner deux nombres selon le signe de leur différence.
  5. Comparaison de deux fractions.
  6. Ordonner deux fractions en calculant le signe de leur différence.
  7. Regrouper les termes en x et les termes constants dans des inégalités.
3. Effets de la multiplication / division des deux membres d'une inégalité par un même nombre.
  1. Multiplication / division des deux membres d'une inégalité par un nombre positif.
  2. Effet du changement des deux membres d'une inégalité en leurs opposés.
  3. Multiplication / division des deux membres d'une inégalité par un nombre négatif.
  4. Résoudre des inégalités linéaires réduites.
  5. Inégalités linéaires à coefficients dans $\mathbb{Z}$.
  6. Inégalités linéaires à coefficients dans $\mathbb{Q}$.
4. Poser et résoudre des inégalités.
  1. Louer une voiture.
  2. Une formule d'abonnement intéressante.
  3. Quel tarif d'électricité choisir ?
5. Opérations permises entre deux inégalités de même sens.
  1. Addition membre à membre de deux inégalités de même sens.
  2. Multiplication membre à membre de deux inégalités entre nombres positifs.
  3. Multiplication membre à membre de deux inégalités entre nombres tous négatifs.
  4. Encadrement d'un nombre.
  5. Encadrement d'une somme de deux nombres.
  6. Encadrement du périmètre d'un rectangle.
  7. Encadrement d'un produit de nombres positifs.
  8. Encadrement de l'aire d'un rectangle.
  9. Encadrement de la différence de deux nombres.
6. Deux identités élémentaires de l'algèbre.
  1. Carré d'une somme dans une algèbre non commutative.
  2. Carré d'une somme de deux nombres dans l'algèbre commutative courante.
  3. Une formule qui en engendre une infinité.
  4. Savoir utiliser l'identité ( a + b )² = a²+ 2ab + b².
  5. Produit d'une somme par une différence de deux nombres.
  6. Savoir utiliser l'identité ( a + b ) ( a - b ) = a² - b² .
  7. Combinaison de deux identités.
7. Utiliser les identités élémentaires pour factoriser des expressions algébriques.
  1. Mises en facteurs d'un monôme.
  2. Mises en facteurs d'un binôme.
  3. Mises en facteurs basées sur l'identité a² + 2 a b + b² = ( a + b )² .
  4. Mises en facteurs basées sur l'identité a² - b² = ( a + b ) ( a - b ) .
  5. Mises en facteurs après regroupement.
  6. Mises en facteurs utilisant deux identités.
8. Application de la factorisation : racines d'un polynôme. Signe d'un polynôme factorisé.
  1. Produit de facteurs nul.
  2. Définition d'un polynôme de degré n.
  3. Racines d'un polynôme.
  4. Racines de polynômes du premier degré.
  5. Racines de polynômes factorisés.
  6. Factoriser un polynôme et déterminer ses racines.
  7. Factoriser grâce aux identités et déterminer le degré et les racines du polynôme.
  8. Méthode de factorisation d'un polynôme du second degré.
  9. Factoriser un polynôme simple du second degré.
  10. Signe d'un polynôme du premier degré. Signe d'un polynôme factorisé.
  11. Exercices du Brevet. Factoriser des polynômes et déterminer leurs signes.
9. Racines carrées. Les nombres irrationnels.
  1. Carré d'un nombre rationnel représenté par une fraction irréductible.
  2. Factorise le carré de nombres rationnels.
  3. Racine carrée d'un nombre rationnel.
  4. La racine carré d'un nombre rationnel n'est pas, en général, un nombre rationnel.
  5. Reconnaître si une racine carrée est un nombre rationnel.
  6. Représentation géométrique de nombres irrationnels.
  7. Représenter $\sqrt{n}$ en utilisant le théorème de Lagrange.
  8. Définition algébrique d'un nombre irrationnel. Notion de coupure.
  9. Algèbre des nombres réels.
10. Maîtriser les notions de base de l'algèbre.
  1. Les mots justes.
11. Définition et propriétés de la valeur absolue.
  1. Définition de la valeur absolue d'un nombre réel.
  2. Valeur absolue d'un produit, d'un quotient.
  3. Résoudre des équations de la forme |$ \lambda$ x | = a.
  4. Valeur absolue et distance sur l'axe $\mathbb{R}$.
  5. La valeur absolue vérifie l'inégalité triangulaire.
  6. Déterminer les points de l'axe $\mathbb{R}$ distants de d d'un point A.
  7. Résoudre des équations qui expriment la donnée d'une distance.
  8. Abscisse du milieu d'un segment. Définir un intervalle par une valeur absolue.
  9. Déterminer et tracer un intervalle défini à partir d'une valeur absolue.
  10. Egalité de deux valeurs absolues.
  11. Equations faisant intervenir deux valeurs absolues.
12. Propriété de factorisation de la racine carrée d'un produit.
  1. Théorème de factorisation de la racine carrée d'un produit de facteurs, d'un carré, d'un quotient.
  2. Réduire la racine carrée d'un entier naturel en le factorisant en nombres premiers.
  3. Racines carrées des puissances positives et négatives de 10.
  4. Simplifier des expressions algébriques en regroupant.
  5. Simplifier en effectuant les produits de facteurs.
  6. Simplifier en utilisant l'identité (a + b)² = a² + 2 ab + b².
  7. Simplifier en utilisant l'identité (a + b) (a - b) = a² - b².
  8. Eliminer la racine carrée du dénominateur d'une fraction.
  9. Eliminer des combinaisons de racines carrées du dénominateur d'une fraction.
13. Calculer et simplifier des expressions avec des racines carrées.
  1. Réduire un produit contenant des racines carrées.
  2. Réduire et regrouper une somme algébrique contenant des racines carrées.
  3. Calculer des racines carrées de nombres décimaux par comparaison.
  4. Simplifier en effectuant des produits de facteurs.
  5. Expressions de la forme ( a + b )².
  6. Expressions de la forme ( a + b ) ( a - b ).
  7. Simplifier des racines carrées sur un quotient.
  8. Eliminer des combinaisons de racines carrées du dénominateur.
14. Relation entre deux variables réelles. Fonction linéaire.
  1. Exemple de relation linéaire entre deux variables.
  2. Mettre de l'essence à une pompe et relever son prix.
  3. Définition et représentation graphique d'une application linéaire.
  4. Exemple d'aplications linéaires.
  5. La règle de trois.
  6. Compléter des données manquantes d'une fonction linéaire.
  7. Définition plus générale de la pente.
  8. Pente négative et pente positive.
  9. Fonction linéaire passant par un point.
15. Définition et propriétés des fonctions affines. Représentation graphique.
  1. Exemple d'une fonction affine.
  2. Signification géométrique des paramètres a et b de la fonction affine. Points alignés.
  3. Tracer une droite passant par deux points et déterminer sa pente.
  4. Droite passant par un point dont la pente est connue.
  5. Déterminer et tracer une droite de pente connue passant par un point.
  6. Equation d'une droite passant par deux points.
  7. Déterminer la masse volumique d'un hydrocarbure.
16. Connaître les propriétés des fonctions affines et leurs représentations.
  1. Tracer le graphe d'une fonction affine. Trouver la coordonnée manquante.
  2. Vérifiez si un point du plan appartient à une droite.
  3. Droite passant par un point et parallèle à une droite donnée.
  4. Déterminer le point d'intersection de deux droites.
  5. Etude et graphe de la fonction valeur absolue de x, |x| et y=|ax+b|.
  6. Une fonction paire formée par une somme de valeurs absolues.
  7. Une fonction impaire formée par une différence de valeurs absolues.
17. Droites du plan et leurs représentations. Parallélisme et orthogonalité.
  1. Les droites du plan représentées par des fonctions affines.
  2. Généralisation de la fonction affine.
  3. Relation entre les pentes de deux droites orthogonales : aa' = -1.
  4. Fiche savoir.
  5. Equation de la perpendiculaire à une droite menée à partir d'un point.
  6. Coordonnées du milieu d'un segment. Distance entre deux points.
  7. Equation de la médiatrice d'un segment [AB].
  8. Déterminer la médiatrice d'un segment par deux méthodes. Tracé de la médiatrice.
18. Opérations permises sur deux fractions égales. Transposition en diagonale.
  1. Tranposition en diagonale sur deux fractions égales.
  2. Solutions d'équations linéaires par transposition.
  3. Déterminer une inconnue figurant dans une égalité entre fractions.
  4. Intersection de deux fonctions homographiques.
  5. Résoudre une équation qui se ramène à une équation linéaire.
19. Equations linéaires à deux inconnues. Solutions analytiques et graphiques.
  1. Equation linéaire à deux inconnues et sa représentation graphique. Droite passant par 2 points.
  2. Résoudre un système de deux équations linéaires à deux inconnues.
  3. Solution de deux équations à deux inconnues par élimination.
  4. Un système de deux équations à deux inconnues sans solution.
  5. Solution littérale utilisant les déterminants.
  6. Résoudre des systèmes en utilisant des déterminants.
  7. Résoudre deux équations linéaires par comparaison ou substitution.
  8. Solution de deux équations linéaires par comparaison ou substitution.
20. Poser et résoudre des équations à deux inconnues.
  1. Somme et différence. Choisir un cadre.
  2. Somme et rapport.
  3. Chez le fleuriste.
  4. Des rapports d'âges du passé et du futur.
  5. Enserrer quatre pièces de monnaie identiques dans une boite circulaire.
  6. Deux temps de parcours pour une même distance.
21. Inégalités de premier degré dans une seule variable.
  1. Signe d'un polynôme du premier degré.
  2. Afficher les signes d'un produit de facteurs sur un tableau.
  3. Résoudre une inégalité du premier degré.
  4. Comparaison de deux binômes du premier degré.
  5. Résoudre graphiquement des inégalités faisant intervenir deux binômes du premier degré.
  6. Choisir une société de location.
22. Inégalités linéaires à deux variables.
  1. Signe d'un trinôme du premier degré dans deux variables.
  2. Résoudre une inégalité linéaire du premier degré dans deux variables.
  3. Sous ensemble de $\mathbb{R^2}$ vérifiant deux inégalités linéaires simultanées.
  4. Résoudre graphiquement deux inégalités linéaires simultanées.
  5. Définir l'ensemble des points intérieurs à un triangle par des inégalités.
  6. Région du plan définie par deux inégalités sur des valeurs absolues.
  7. Région du plan définie par une inégalité sur des valeurs absolues.
23. Trinôme du second degré. Forme translatée ou réduite. Symétrie et graphe. Racines.
  1. Etude et graphe de la fonction y = x². Parité, croissance et décroissance.
  2. Propriétés générales des paraboles d'équation y = a x² pour a>0 et a<0.
  3. Forme canonique du trinôme du second degré. Fonction translatée et graphe de la fonction.
  4. Ecrire des polynômes du second degré sous forme canonique et tracer leurs graphes.
  5. Quelques points d'histoire sur l'équation du second degré.
  6. Existence de racines réelles du polynôme du second degré et leur formule générale. Exemples.
  7. Trouver les racines de trinômes du second degré.
  8. Intersection d'une droite et d'une parabole. Etude du cas où la droite est tangente à la parabole.
  9. Factorisation et signe du trinôme du second degré. Inégalités du second degré.
  10. Résoudre des inégalités du second degré ou comportant une valeur absolue.
  11. Fiche savoir.
24. Somme et produit des racines de l'équation du second degré. Equations bicarrées. L'ellipse.
  1. Définition et calcul du nombre d'or.
  2. Somme et produit des racines du trinôme du second degré.
  3. Déterminer deux nombres connaissant leur somme S et leur produit P.
  4. Equation comportant des fractions, qui se ramène à une équation du second degré.
  5. Equation irrationnelle qui se ramène à une équation du second degré. Périmètre d'un trapèze.
  6. Solutions d'équations et d'inéquations bicarrées.
  7. Equations bicarrées ayant deux ou quatre racines. Signes des polynômes correspondants.
  8. Optimisation : recherche d'une aire maximale.
  9. Equation de l'ellipse en coordonnées cartésiennes.

Algèbre 3 : Plynômes. Dérivées. Vecteurs. Barycentres. Trigonométrie. Probabilités... / Lycée 15-18 ans

1. Factorisation de $a^n$ - $b^n$. Polynômes homogènes. Suite géométrique.
  1. Monômes homogènes de degré $n$,$ M_n$(a,b).
  2. Enumérer les monômes homogènes de degré n.
  3. Polynômes homogènes de degré n.
  4. A la découverte de $a^n$-$b^n$.
  5. Factorisation de $a^{n+1}$ - $b^{n+1}$.
  6. Fiche savoir : factorisation de $a^n$ - $b^n$ .
  7. Factoriser au maximum une différence de puissances de deux variables.
  8. Somme des termes consécutifs d'une suite géométrique.
  9. Activité libre.
  10. Activité libre - Utilisation du grapheur.
2. Définition et propriétés des polynômes : multiplication, division et divisibilité par (x - a).
  1. Polynômes de degré n.
  2. Propriétés vectorielles des polynômes de degré n.
  3. Multiplication de deux polynômes. Degré du produit.
  4. Savoir multiplier deux polynômes.
  5. Division et divisibilité d'un polynôme par (x-a).
  6. Déterminer le polynôme quotient et le reste de la division par (x-a).
  7. Savoir diviser un polynôme par (x-a).
  8. Produit de facteurs nul.
  9. Racines d'un polynôme et factorisation.
  10. Théorème fondamental de l'algèbre et factorisation par des polynômes $P_2(x)$.
3. Exemples de factorisations de polynômes.
  1. Factoriser, quand c'est possible, des trinômes du second degré.
  2. Factoriser un polynôme du $3^{ème}$ degré dont on connaît une racine.
  3. Factoriser une classe de polynômes $P_4(x)$ en produit de polynômes.
  4. Factoriser une classe de polynômes $P_4(x)$ en produit de polynômes $P_2(x)$.
  5. Factoriser un polynôme du 3ème degré dont on connaît 2 racines.
  6. Factoriser un polynôme du 4ème degré dont on connaît 2 racines.
  7. Une échelle calée.
4. Permutations, arrangements, combinaisons. Triangle de Pascal et binôme de Newton.
  1. $(A+B)^n$ dans une algèbre non commutative.
  2. Développer $(A+B)^2$.
  3. Arborescence des permutations de n objets : $n!$.
  4. Nombre de combinaisons formées de $p$ facteurs $A$ et $(n-p)$ facteurs $B$ : $C {^ n_p}$
  5. Calcul et présentation des coefficients $C {^n_p}$. Triangle et relation de Pascal.
  6. Développement de $(a+b)^n$.
  7. Développer des binômes à la puissance $n$.
  8. Arbre et dénombrement des arrangements. Passage aux combinaisons. Les p-listes.
  9. Savoir construire l'arbre et la liste des arrangements de 4 objets.
  10. Dénombrements dans les courses de chevaux : couplé, tiercé, quarté, quinté.
  11. Dénombrements dans un jeu de 32 cartes.
5. Fonctions polynômes : rappels sur le second degré, polynômes du 3ème et du 4ème degré.
  1. Les fonctions polynomiales. Rappels sur les polynômes de degrés zéro et un.
  2. Graphe et racines d'un polynôme de degré 2. La parabole et son axe de symétrie.
  3. Variation des polynômes du second degré, sans l'utilisation de la dérivée.
  4. Fiche Savoir : Sommet, sens de variation et racines des polynômes $P_2 (x)$.
  5. Maîtriser les propriétés de la parabole, graphe du trinôme du second degré.
  6. Etude des monômes du troisième degré.
  7. Forme réduite d'un polynôme du troisième degré. Centre de symétrie et graphe.
  8. Etude du polynôme en "selle de cheval" : $x\to ax^2 ( x^2 - a )$.
  9. Propriétés générales des polynômes de degré $n$.
6. Fonction racine carrée. Fonction a/x et fonction homographique.
  1. Définition, propriétés et graphes des fonctions $\sqrt{x}$ et $-\sqrt{x}$ .
  2. Racine carrée d'une fonction affine.
  3. Etudier et tracer une fonction de la forme $y = \sqrt{ax + b}$.
  4. Variables inversement proportionnelles : $xy = a$.
  5. Propriétés de la fonction $y = a/x$. L'hyperbole équilatère.
  6. Asymptotes, symétries et graphe de la fonction homographique.
  7. Exercice résolu : étude et tracé d'une fonction homographique.
  8. Etudier et tracer le graphe d'une fonction homographique.
7. Dérivée en un point. Fonction dérivée et tangente au graphe. Formules de dérivation.
  1. Vitesse moyenne et vitesse instantanée. Loi horaire parabolique.
  2. Vitesse et accélération pour une loi horaire cubique.
  3. Etude de $x^n$ au voisinage de $x$. Dérivée de cette fonction.
  4. Définition de la dérivée d'une fonction.
  5. Signification géométrique de la dérivée en un point: pente de la tangente au graphe en ce point.
  6. Dérivée de la fonction $\sqrt{x}$ en $x = a > 0$. Forme de cette fonction au voisinage de ce point.
  7. Dérivée de la fonction $(\sqrt{x})^3$ en $x = a$. Forme de cette fonction au voisinage de ce point.
  8. Linéarité de la dérivation. Dérivée d'un polynôme Pn(x).
  9. Dérivation d'un produit de fonctions : "distributivité de l'opération dérivée".
  10. Dérivée d'un quotient de fonctions : premières applications.
  11. Savoir calculer les dérivées des fonctions les plus simples.
8. Fonctions puissances rationnelles et leurs dérivées.
  1. Définition d'une puissance rationnelle d'un nombre réel x.
  2. Arête d'un cube et rayon d'une sphère en fonction de leur volume.
  3. Multiplication/division de puissances rationnelles d'une variable réelle.
  4. Puissances rationnelles élévées à une puissance rationnelle.
  5. Dérivée de la puissance n-ième d'une fonction.
  6. Dérivée d'une puissance rationnelle de x.
  7. Fiche Savoir.
  8. Savoir dériver des puissances rationnelles de x.
9. Sens de variation d'une fonction et signe de la dérivée. Extremums. Polynôme du 3ème degré.
  1. Propriété géométrique de la tangente en un point de la parabole, permettant son tracé.
  2. Propriété géométrique de la tangente en un point de l'hyperbole permettant son tracé.
  3. Lieu géométrique des points I d'où l'on peut mener deux tangentes perpendiculaires à la parabole.
  4. Sens de variation d'une fonction et signe de sa dérivée. Extremums.
  5. Utiliser la dérivée dans l'étude du trinôme du second degré.
  6. Théorème de Taylor pour les fonctions polynômes. Fonction translatée en un point.
  7. Utilisation des dérivées pour étudier une fonction $f$, polynôme du 3ème degré : $f'(x_0) \geqslant 0$.
  8. Utilisation des dérivées pour étudier une fonction $f$, polynôme du 3ème degré :$ f'(x_0) < 0$.
  9. Utilisation des dérivées pour étudier une fonction $f$, polynôme du 4ème degré.
  10. Activité libre - Utilisation du grapheur.
10. Dérivation d'une fonction composée. Valeur absolue, asymptotes obliques.
  1. Théorème de dérivation d'une fonction composée.
  2. Etude de la fonction $f : x \to y = \sqrt{x^2 + a^2}$. Fonction valeur absolue.
  3. Etude de la fonction $f : x \to y = \sqrt{x^2 + a^2}$ et de sa dérivée. Fonction sgn(x).
  4. Dérivée seconde de $f : x \to y = \sqrt{x^2 + a^2}$.
  5. Etude de la fonction $f : x \to y = \sqrt{x^2 - a^2}$ et de sa dérivée.
  6. Fonction présentant une asymptote oblique : $X \to Y = X + A/X.$
  7. Quotient d'un polynôme du second degré par un polynôme du premier degré. Cas sans extremums.
  8. Quotient d'un polynôme du second degré par un polynôme du premier degré. Cas avec extremums.
11. Vecteurs du plan. Propriétés et liens avec le théorème de Thalès. Applications géométriques.
  1. En mathématiques, les vecteurs sont libres.
  2. Définition et propriétés de la somme de vecteurs.
  3. Les nombres réels et l'espace vectoriel à une dimension.
  4. Multiplication d'un vecteur par un réel. Vecteurs colinéaires. Théorème de Thalès.
  5. Le plan, espace vectoriel à 2 dimensions.
  6. Relations vectorielles dans un triangle. Médianes.
  7. Formes vectorielles du théorème de Thalès.
  8. Lignes des milieux d'un quadrilatère quelconque.
  9. Intersection d'une droite issue du sommet d'un parallélogramme avec les côtés.
  10. Deux applications successives du théorème de Thalès.
12. Définition et propriétés du barycentre. Notation ponctuelle et vectorielle. Applications.
  1. Définition et unicité du barycentre de deux points avec des coefficients réduits.
  2. Le centre de gravité en physique. Barycentre avec des coefficients quelconques.
  3. Le barycentre permet de calculer avec des points.
  4. Construction du barycentre de deux points pour 3 configurations.
  5. Barycentre de 3 points. Théorème d'associativité.
  6. Isobarycentre. Centre de gravité des sommets d'un triangle.
  7. Construction du barycentre de trois points affectés de coefficients positifs.
  8. Barycentre de trois points avec un coefficient négatif.
  9. Relation entre les barycentres partiels de 3 points.
  10. Barycentre de n points. Théorème d'associativité.
  11. Isobarycentre du tétraèdre.
13. Radians et degrés. Fonctions trigonométriques. Périodicité et symétries.
  1. Mesure d'un angle en radians.
  2. Angles orientés. Le cercle trigonométrique.
  3. Conversion de degrés en radians. Mesure principale d'un angle.
  4. Définitions et périodicité des fonctions cosinus et sinus.
  5. Relations entre les fonctions sinus et cosinus résultant de symétries.
  6. Exploiter la symétrie pour simplifier des expressions avec sinus et cosinus.
  7. Définitions et propriétés des fonctions tangente et cotangente.
  8. Relations entre les fonctions tangente et cotangente résultant de symétries.
  9. Exploiter des relations de symétrie pour simplifier des expressions avec tg et cotg.
  10. Fiche savoir
14. Relations entre les fonctions trigonométriques. Fonctions trigonométriques inverses.
  1. Théorème de Pythagore : une démonstration.
  2. La relation $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$. Détermination des racines selon les intervalles de $\theta$ .
  3. Valeurs des fonctions trigonométriques pour des angles remarquables.
  4. Relations générales entre le cosinus ou le sinus et la tangente.
  5. Inversion de la fonction sinus. Equations $\sin\theta = a$ et $\sin\theta =\sin\theta'$.
  6. Inversion de la fonction cosinus. Equations $\cos \theta = a$ et $\cos\theta =\cos\theta'$.
  7. Solutions d'équations où le sinus et le cosinus ont des valeurs "remarquables".
  8. Equations trigonométriques ayant deux familles de solutions.
15. Produit scalaire et norme. Applications en géométrie. Lignes de niveau.
  1. Définition et propriétés de la norme d'un vecteur.
  2. Définition et propriétés du produit scalaire de deux vecteurs.
  3. Fiche Savoir. Produit scalaire et norme.
  4. Identité ${(\overrightarrow{u} -\overrightarrow{v})}^2= ...$ Déterminer les angles d'un triangle dont on connait les trois côtés.
  5. Identité ${(\overrightarrow{u} +\overrightarrow{v})}^2= ...$ Théorème de la médiane. Lignes de niveaux $MB^2 + MC^2 = Ka^2$.
  6. Identité ${(\overrightarrow{u} -\overrightarrow{v})}^2= ...$ Lignes de niveaux $MB^2 - MC^2 = Ka^2$.
  7. Triangle ayant des médianes perpendiculaires. Construction.
  8. Droites orthogonales dans un carré. Démontrer avec le produit scalaire.
  9. Déterminer l'angle sous lequel est vue une cheminée.
  10. Identité d'Euler entre 4 points du plan. Application à l'orthocentre d'un triangle.
16. Produit scalaire et norme dans une base orthonormée. Formules trigonométriques de base.
  1. Base orthonormée. Composantes d'un vecteur dans cette base.
  2. Transformation des composantes d'un vecteur par changement de base.
  3. Produit scalaire et norme en fonction des composantes dans une base orthonormée.
  4. Formules d'addition : lignes trigonométriques de la somme et de la différence de deux angles.
  5. Relations entre les lignes trigonométriques des angles $\alpha$ et $2\alpha$.
  6. Relations entre les lignes trigonométriques de $x/2$ et $x$. Utilisation de $t = tg (x/2)$.
  7. Factorisation d'une somme/différence de deux lignes trigonométriques.
  8. Construction géométrique du pentagone régulier. Lignes trigonométriques associées.
  9. Lignes trigonométriques de l'angle $\pi/12$ et de ses symétriques.
  10. Identités résultant de la symétrie de l'isobarycentre du triangle équilatéral.
17. Distance entre deux points. Relations métriques dans un triangle. Equation d'un cercle.
  1. Distance entre deux points. Equation du cercle.
  2. Equation d'un cercle ayant $[AB]$ pour diamètre.
  3. Aire d'un triangle. Relations métriques qui en résultent.
  4. Aire du triangle en fonction de ses côtés : formule de Héron.
  5. Relations métriques dans un triangle et cercle circonscrit.
  6. Vecteurs orthogonaux. Droite passant par un point et orthogonale à un vecteur.
  7. Distance d d'un point à une droite d'équation $ax+by=c$. Détermination de $d$ comme minimum.
  8. Somme des carrés des distances d'un point aux sommets d'un triangle.
18. Ensembles, dénombrements et probabilités.
  1. Introduction à la théorie des ensembles.
  2. Opérations booléennes sur les ensembles.
  3. L'ensemble des issues E. Définition d'un évènement. Evènements et ensembles.
  4. Les sports préférés dans un centre de loisirs : présentation par des ensembles et par un tableau.
  5. Définition et théorème des probabilités.
  6. Somme des points dans un lancer de deux dés. Produit des points.
  7. Arbre et probabilités dans 4 lancers d'une pièce de monnaie.
  8. Résultat de contrôle technique de véhicules.
  9. Problème des 3 dés de Galilée.
  10. Tirage simultané de deux boules d'une urne contenant des boules de deux couleurs.
19. Probabilités conditionnelles, probabilités totales. Utilisation des arbres.
  1. Probabilités conditionnelles. Probabilités totales.
  2. Probabilité conditionnelle dans un lancer de deux dés.
  3. Filières du baccalauréat dans un lycée. Répartition garçons/filles.
  4. Promotion faite par une maison de disques.
  5. Une fabrique de téléviseurs.
  6. Probabilités conditionnelles d'un fumeur qui essaie d'arrêter.
  7. Loi de l'équilibre génétique par appariement de gènes des parents. Loi de Hardy-Weinberg.
  8. Fiabilité d'un test de dépistage d'une maladie.
  9. Un amateur de Sudoku. Adapté de Bac ES métropole, juin 2007.
  10. Exercice de récapitulation. Relations entre les probabilités d'une double partition d'une population.
20. Variable et fonction aléatoires. Moyenne et variance. Schéma de Bernoulli. Loi binomiale.
  1. Schéma de Bernoulli. Loi binomiale de paramètres $p$ et $n$.
  2. Diagramme en bâtons de la loi binomiale.
  3. Variable et fonctions aléatoires, loi de probabilité. Espérance mathématique, variance et écart-type.
  4. Calcul de la variance et de l'écart-type de la loi binomiale $B(n, p)$.
  5. Probabilité, moyenne et écart-type dans un jeu de casino. Fonction aléatoire de gain.
  6. Un jeu de boules proposé est-il intéressant ? Pour quelle mise le jeu est-il équilibré ?

Algèbre 4 : Nombres complexes, dérivées, intégrales, vecteurs, géométrie dans l'espace. / Lycée 16-19 ans

1. Rappels sur l'ensemble des réels et sur les nombres premiers. Algorithme d'Euclide
  1. L'ensemble des entiers relatifs $\mathbb{Z}$. L'addition et la soustraction. Les sous-groupes n$\mathbb{Z}$. Le $PPCM$.
  2. L'ensemble des entiers relatifs $\mathbb{Z}$. La multiplication.
  3. Le quotient de deux entiers. L'ensemble des fractions $\mathbb{Q}$.
  4. Factorisation d'un entier en nombres premiers. $PGCD$ et $PPCM$.
  5. Factoriser des entiers et trouver leur $PGCD$ et $PPCM$.
  6. Propriétés du $PGCD$. Algorithme d'Euclide. Egalité de Bézout.
  7. Théorème de Bézout. Théorème de Gauss. L'ensemble des nombres premiers est infini.
  8. Déterminer le $PGCD$ en utilisant l'algorithme d'Euclide et trouver une égalité de Bézout.
  9. Représentation décimale d'une fraction. Retrouver une fraction connaissant sa période décimale.
  10. Trouver la forme irréductible d'une fraction connaissant sa représentation décimale.
  11. Les nombres irrationnels. L'ensemble des réels $\mathbb{R}$.
  12. Activité libre sans axes gradués.
2. Les nombres complexes. Formes cartésienne et polaire. Addition, multiplication.
  1. Brève histoire sur l'introduction des nombres complexes.
  2. Représentation géométrique d'un nombre complexe. Forme cartésienne.
  3. Addition des nombres complexes. Nombre complexe conjugué.
  4. Forme polaire ou trigonométrique d'un nombre complexe. Exemples.
  5. Formes cartésienne et polaire de quelques points du plan complexe.
  6. Additionner deux nombres complexes en coordonnées cartésiennes.
  7. Définition et propriétés de la multiplication des nombres complexes en coordonnées polaires.
  8. Distributivité de la multiplication par rapport à l'addition. Multiplication en coordonnées cartésiennes.
  9. Multiplication d'un complexe par son conjugué. Inverse d'un complexe. Division de deux complexes.
  10. Premiers calculs avec les complexes.
  11. Résumé des propriétés du corps $\mathbb{C}$ des complexes.
  12. Activité libre avec axes gradués.
3. Les nombres complexes en Géométrie. Définition et propriétés des similitudes.
  1. Formes cartésiennes de produits et de quotients de nombres complexes.
  2. Formules exactes de $\sin(\pi/12)$ et $\cos(\pi/12)$.
  3. Affixe et module d'un vecteur $\overrightarrow{AB}$. Equation d'un cercle et de la médiatrice d'un segment.
  4. Résoudre une équation de la forme $| z - z_A |$ = $| z - z_B |$ et $|\overline{z} - z_A |$ = $| z - z_B |$.
  5. Suite géométrique d'une variable complexe de raison $z$. Cas où $| z | = 1.$
  6. Somme de suites trigonométriques dont les arguments sont en progression arithmétique.
  7. Fonction d'une variable complexe représentant une similitude : translation, homothétie, rotation.
  8. Composition de deux similitudes : centre et paramètres du produit.
  9. Composée de deux homothéties de centres $\Omega_1$ et $\Omega_2$.
  10. Déterminer le centre et l'angle de rotation de la composée de deux rotations de centres $\Omega_1$ et $\Omega_2$.
  11. Activité libre.
4. Binôme de Newton et formule de Moivre. Racines complexes et factorisation de polynômes.
  1. Formule du binôme de Newton. Combinaisons et triangle de Pascal.
  2. Exprimer $\cos^2\theta$ et $\sin^2\theta$ en fonction de $cos(2\theta)$.
  3. Exprimer $cos^n\theta$ et $sin^n\theta$ en fonction des sinus et cosinus de multiples de l'angle $\theta$.
  4. Exprimer $cos(n\theta)$ et $sin(n\theta)$ en fonction de produits et puissances de $cos(\theta)$ et $sin(\theta)$. Formule de Moivre.
  5. Racines nièmes de l'unité : $z^n = 1$. Représentation géométrique.
  6. Factorisation du polynôme complexe $z^n-1$. Application à la factorisation du polynôme réel $U_{n-1} (x)$.
  7. Résoudre l'équation $z^5 = 1$ et factoriser le polynôme $U_4 (x)$.
  8. Factorisation de $z^4 - 1$ et de $z^4 + 1$.
  9. Racine carrée d'un complexe, factorisation du trinôme du second degré.
  10. Factorisation et racines du polynôme pair du $4^{ème}$ degré, ou polynôme bicarré.
  11. Exemples de solution de l'équation bicarrée.
5. Dérivées des fonctions trigonométriques. Périodes, symétries, graphes.
  1. Limite du rapport des longueurs de la corde à l'arc sous-tendu lorsqu'ils tendent vers zéro.
  2. La dérivée de $e^{i\theta}$ est $ie^{i\theta}$. Dérivée de $\sin\theta$ et $\cos\theta$ par rapport à leurs arguments.
  3. Etude des fonctions $\sin\theta$ et $\cos\theta$ : période, symétries, graphes.
  4. Les fonctions trigonométriques en Physique
  5. Etude des fonctions $tg\theta$ et $cotg\theta$ : période, symétries, asymptotes et graphes.
  6. Etude de la fonction $\sin (x) / x$.
  7. Transformer la fonction $A\cos({\omega t})$ + $B\cos(\omega t + \phi)$ en une fonction sinusoïdale et étudier son graphe.
  8. Etude et graphe des fonctions de la forme $A\cos (ax)$ + $B\cos (ax + \phi)$.
  9. Etude et graphe des fonctions $\cos^2 (ax)$ et $\sin^2 (ax)$.
  10. Etude et graphe de la fonction $x \sin(x)$.
6. Intégrales et primitives. Utilisation en mécanique. Intégrales de fonctions trigonométriques.
  1. Définition de l'intégrale d'une fonction avec une borne comme variable. Primitive d'une fonction.
  2. Propriétés de l'intégrale. Lien avec l'aire algébrique.
  3. Inégalités des accroissements finis.
  4. Dérivées et primitives des fonctions usuelles.
  5. Dérivées et primitives en Mécanique : Mouvement d'une bille lancée verticalement depuis le sol.
  6. Mouvement d'un ascenseur entre deux étages accéléré puis décéléré.
  7. Mouvement d'un ascenseur : accélération, vitesse constante, décélération.
  8. Intégrales de fonctions polynômes.
  9. Intégrales de fonctions de la forme $u'$/$u^n$ ou u est un polynôme du premier ou second degré.
  10. Intégrales de fonctions de la forme $u'u^\alpha$ avec $\alpha$ rationnel et u un polynôme.
  11. Intégrales de fonctions trigonométriques se ramenant à la forme $u'u^n$.
  12. Intégrales de $(\sin x)^n$ et $(\cos x)^n$.
7. Définition et propriétés de base de la fonction logarithme. Applications à l'intégration.
  1. Définition de la fonction logarithme népérien comme primitive de $1/x$. Propriétés fondamentales.
  2. Encadrements de $1/(1+x)$ et de $ln(1+x)$ par des polynômes. Développement en série.
  3. Fonction logarithme décimal $\log x$. $\ln x \to \infty$ pour $ x \to \infty $ et $\ln x \to - \infty$ pour $x \to 0$.
  4. lnx croit moins vite que toute puissance positive à l'infini et en zéro.
  5. Etude de la fonction $f : x \to f(x) = x \ln x.$
  6. Etude de la fonction $f : x \to f(x)= (\ln x)^2 + x - 1$. (D'après Bac C)
  7. Dérivée de la fonction $\ln(u(x))$. Applications aux primitives et à l'intégration.
  8. Primitives de fonctions de la forme $u'/u$. Primitive d'une fonction $f = 1/D$ avec $D = ax+b$.
  9. Primitives de fonctions de la forme $u'/u$. Primitive de la fonction $f = 1/D$ avec $D = (x-x_1)(x-x_2)$ .
  10. Primitives de fonctions de la forme $u'/u$. Primitive et intégration de $tg x$ .
  11. Etude de la fonction $x \to F(x) = (\ln x)^3$ et ses dérivées
8. Définition et propriétés de base de la fonction exponentielle. Applications.
  1. Définition de la fonction exponentielle. Propriétés algébriques. Exponentielle d'un complexe.
  2. Dérivée de la fonction exponentielle. Sens de variation.
  3. Définition et graphes des fonctions hyperboliques.
  4. Dérivées des fonctions hyperboliques. Formules d'addition. Fonctions inverses.
  5. Tangentes à la fonction exponentielle. Solutions graphiques de $e^x = ax + b$.
  6. Exponentielle de polynômes du premier et second degré.
  7. Pour $x > 0$, extension de $x^\alpha$ à $\alpha$ réel. Dérivée, sens de variation et limite à l'infini.
  8. Croissance de l'exponentielle comparée à une puissance. Comportements asymptomiques.
  9. Etude de la fonction $x \to f(x)$ = $\ln(ae^x + be^{-x})$, $a\geqslant 0$ et $b\geqslant 0 $.
  10. Etude de la fonction $x \to f(x)$ = $\ln\lvert ae^x + be^{-x}\rvert$, $a > 0$ et $b < 0 $.
  11. Etude des fonctions $ f_n(x)$ = $x^ne^{-x}$.( Variante BAC S 2011 )
9. Les suites arithmétiques, géométriques, linéaires, de Feigenbaum, homographiques.
  1. Définition et propriétés d'une suite. Définition explicite et définition par récurrence.
  2. Représentation graphique d'une suite définie par récurrence.
  3. Suite arithmétique et suite géométrique.
  4. Suites définies par une relation linéaire : $u_{n+1}$ = $a u_{n}$ + b.
  5. Suites définies par $u_{n+1}$ = $\sqrt{p + u_n}$ avec $p$ $\in$ $\mathbb{N}^+$.
  6. Etude de la suite $u_{n+1}$ = $k u_n (1 - u_n)$ avec $1 \leqslant k \leqslant 2$.
  7. Suites de Feigenbaum : $u_{n+1}$ = $k u_n(1 - u_n)$. Convergence de la suite selon la valeur de $k$.
  8. Rappels sur les fonctions homographiques. Suites homographiques avec deux points fixes.
  9. Convergence des suites homographiques avec deux points fixes vers l'un des deux points.
  10. Suite homographique avec un seul point fixe. Lien avec une suite arithmétique et convergence.
  11. Convergence d'une suite homographique possédant deux points fixes.
  12. Convergence d'une suite homographique possédant un seul point fixe.
10. Exercices et problèmes sur les suites. Divergence de la série 1/n. Constante d'Euler $\gamma$.
  1. Exemple de suites données sous forme explicite.
  2. Déterminer deux suites définies par deux relations récurrentes linéaires croisées.
  3. Suite récurrente définie par un polynôme du troisième degré.
  4. Utiliser une suite récurrente pour déterminer la racine d'une équation non polynomiale. (Bac)
  5. Somme des n premiers entiers naturels, de leurs carrés, de leurs cubes en fonction de n.
  6. Suites définies par les dérivées successives de $\ln({x})/x.$
  7. Divergence de la série $1/n$. Constante d'Euler $\gamma$.
11. Opérations sur les vecteurs. Barycentres. Droites et plans de l'espace.
  1. Opérations sur les vecteurs de l'espace à 3 dimensions et leurs propriétés.
  2. L'espace vectoriel à 3 dimensions. Composantes d'un vecteur dans une base.
  3. Rappels des propriétés du barycentre. Notations ponctuelle et vectorielle.
  4. Droite de l'espace. Equations d'une droite, d'un segment de droite, d'une demi-droite.
  5. Plan passant par 3 points non alignés. Vecteurs coplanaires.
  6. Droites et plans dans un tétraèdre.
  7. L'intersection de deux plans ayant un point commun est une droite.
  8. Deux droites parallèles de l'espace déterminent un plan.
  9. Coplanarité de 4 points placés sur les cotés d'un tétraèdre. Méthode barycentrique et vectorielle.
  10. Fiche savoir.
  11. Intersection de trois plans distincts.
12. Produit scalaire de deux vecteurs, norme, distance. Equation d'un plan et d'une droite.
  1. Norme d'un vecteur. Produit scalaire de deux vecteurs.
  2. Projeté orthogonal d'un point sur une droite et distance à cette droite.
  3. Droites orthogonales. Droite perpendiculaire à un plan. Distance d'un point à un plan.
  4. Repère orthogonal et repère orthonormé. Plan médiateur d'un segment.
  5. Tétraèdre trirectangle.
  6. Tétraèdre à arêtes orthogonales.
  7. Tétraèdre régulier ou équilatéral. Sphère circonscrite.
  8. Norme et produit scalaire dans une base orthonormée. Distance entre deux points.
  9. Equation cartésienne et équation paramétriques d'un plan et d'une droite de l'espace.
  10. Equation cartésienne d'un plan passant par 3 points non alignés.
  11. Distance d'un point à un plan défini dans une base orthonormée.
13. Propriétés d'un dièdre. Droites et plans dans un cube. La sphère.
  1. Définition d'un dièdre : angle formé par 2 demi-plans. Bissecteur d'un dièdre.
  2. Plans parallèles et plans perpendiculaires. Intersection de deux plans.
  3. Intersection de deux droites dans un parallélépipède par la méthode des points.
  4. Relation entre un produit scalaire de vecteurs et des distances carrées pour 4 points de l'espace.
  5. Déterminer le segment perpendiculaire à deux droites non coplanaires et non perpendiculaires.
  6. Segment perpendiculaire à une diagonale et à une droite sur l'une des faces d'un cube.
  7. Intersection d'une droite et d'un plan donné en coordonnées cartésiennes.
  8. Equation de la sphère. Définition de la boule. Sphère circonscrite à un tétraèdre quelconque.
  9. Deux formes de l'équation d'une sphère. Intersection avec un plan. Plan tangent en un point.
14. Systèmes d'équations linéaires. Système triangulaire. Méthode de Gauss.
  1. Rappels sur le système de deux équations linéaires à deux inconnues. Notions de matrices.
  2. Solution d'un système de 3 équations à 3 inconnues par la méthode de Gausse. Exercice résolu.
  3. Résoudre un système de 3 équation à 3 inconnues par la méthode de Gausse.
  4. Problème des trois joueurs qui se retrouvent avec les mêmes montants, d'après Euler.
  5. Trouver l'équation d'une parabole passant par 3 points.
  6. Résoudre un système de 4 équations à 4 inconnues par la méthode de Gausse.
  7. Déterminer un polynôme du troisième degré connaissant ses extremums.
  8. Existence de solution(s) d'un système. Cas de 3 équations à 3 inconnues.

Géométrie 1&2 : Translations, Rotations, Symétries, Vecteurs, Thalès, Pythagore, Homothétie... / Collège-Lycée 12-17 ans

1. Outils pour tracer des droites et des cercles. Outils de déplacement de la Fenêtre Géométrie.
  1. Tracer une droite, un segment, une demi-droite, un triangle.
  2. Dessiner un triangle quelconque à la règle et au crayon et nommer ses sommets.
  3. Définition du cercle et du disque. Tracer un cercle, un arc de cercle.
  4. Construire un triangle dont on connaît les côtés. Inégalités triangulaires.
  5. Construire un triangle isocèle, un triangle équilatéral.
  6. Construction de triangles : quelconque, isocèle, équilatéral de côtés connus.
  7. Outils de tracé de la fenêtre Géométrie Evalutel.
  8. Se familiariser avec les outils pour les tracés.
  9. Outil de tracé d’un polygone. Outils de déplacement avec ou sans duplication.
  10. Déplacer un triangle équilatéral à l’aide des outils pour effectuer un pavage.
  11. Déplacer un hexagone régulier à l’aide des outils pour effectuer un pavage.
  12. Activité libre.
2. Médiatrice d'un segment. Médiatrices d'un triangle et cercle circonscrit.
  1. Construction et propriétés de la médiatrice d'un segment.
  2. Fiche savoir. Propriétés des demi-plans séparés par la médiatrice d’un segment.
  3. Démontrer qu’une droite est la médiatrice d’un segment.
  4. Propriété de la ligne des centres de deux cercles sécants.
  5. Les médiatrices d'un triangle sont concourantes. Cercle circonscrit au triangle.
  6. Savoir construire le cercle circonscrit à un triangle quelconque.
  7. Cercle circonscrit à un triangle rectangle.
  8. Mener, par un point, la perpendiculaire à une droite, en utilisant la règle et le compas.
  9. Activité libre
3. Triangles superposables. Bissectrices des angles d'un triangle. Angles particuliers.
  1. Mesure d'un angle, angles particuliers.
  2. Nommer les angles présentés.
  3. Egalité et somme de deux angles. Bissectrice d'un angle. Angles supplémentaires.
  4. Tracer un triangle connaissant un côté encadré par deux angles. Tracé des bissectrices.
  5. Angles opposés par le sommet. Bissectrices de deux angles adjacents supplémentaires.
  6. Angles orientés et leurs mesures algébriques.
  7. Triangles égaux ayant des angles de mesures opposées.
  8. Triangles superposables. Les 3 cas d’égalité de triangles quelconques.
  9. Trois triangles dans un triangle équilatéral.
  10. Le triangle isocèle. Un exemple de triangles égaux (isométriques) non superposables.
  11. Démontrer que la médiatrice d’un segment variable passe par un point fixe.
  12. Activité libre.
4. Symétrie par rapport à une droite ou symétrie axiale.
  1. Définition du symétrique d'un point par rapport à une droite.
  2. Construction géométrique du symétrique d'un point par rapport à une droite.
  3. Symétrique d'une droite (D) par rapport à une droite ($\Delta$).
  4. Construire le symétrique d'une droite. Droites invariantes.
  5. Symétrique d'un cercle par rapport à une droite. Axes de symétrie.
  6. Symétriques d'un triangle par rapport à un côté, par rapport à une hauteur.
  7. Propriétés de la symétrie axiale. Application au triangle isocèle. Fiche Savoir.
  8. Symétries axiales du triangle équilatéral, du carré et du pentagone régulier.
  9. Axes de symétrie des lettres majuscules d’un alphabet.
  10. Marquer un point sur une figure et trouver son symétrique sur la figure symétrique dessinée.
  11. Je dessine une figure, l’opérateur ${S_\Delta}$ reproduit la figure symétrique.
5. Symétrie par rapport à un point ou symétrie centrale.
  1. Définition du symétrique d'un point par rapport à un point donné.
  2. Symétrique d'une droite par rapport à un point donné O.
  3. Utiliser la symétrie centrale pour mener par un point A la parallèle (D') à une droite (D).
  4. Symétrique d'un triangle par rapport à l'un des sommets, par rapport au milieu d'un côté.
  5. La symétrie centrale comme rotation de 180°
  6. Symétrie d'un cercle par rapport à un point
  7. Symétrie du centre du cercle circonscrit à un triangle par rapport à l'un des sommets.
  8. Combinaison d’une symétrie centrale et d’une symétrie axiale dans un triangle.
  9. Marquer un point sur une figure et trouver son symétrique sur la figure symétrique dessinée.
  10. Activité libre : dessiner une figure, l’opérateur ${S_O}$ dessine sa symétrique.
6. Droites parallèles coupées par une sécante. La somme des angles d'un triangle vaut 180°.
  1. Perpendiculaire à une droite à partir d'un point. Distance.
  2. Construire l'axe de symétrie passant par un point et distance à une droite.
  3. Droites parallèles et perpendiculaires. Postulat d'Euclide.
  4. Les angles formés par deux droites parallèles et une sécante sont égaux ou supplémentaires.
  5. les bissectrices de deux angles alternes-internes ou correspondants sont parallèles.
  6. La somme des angles d'un triangle vaut 180°. Triangles remarquables.
  7. Construire un triangle connaissant son périmètre et deux de ses angles.
  8. Les polygones. Polygones convexes.
  9. La somme des angles d’un polygone convexe de n côtés vaut (n-2)x180°.
  10. Angles formés par les bissectrices d'un triangle. L'angle au centre est le double de l'angle inscrit.
  11. Angles aux sommets d'un octogone régulier.
7. Définition et propriétés du parallélogramme. Angles à côtés parallèles ou perpendiculaires.
  1. Un quadrilatère possédant un centre de symétrie. Le parallélogramme.
  2. Propriétés des angles du parallélogramme.
  3. Les côtés opposés d’un parallélogramme sont égaux deux à deux.
  4. Mener par un point, la parallèle à une droite en construisant un parallélogramme.
  5. Définition d’un vecteur, vecteurs égaux. Lien avec le parallélogramme.
  6. Cinq propriétés permettant de reconnaître un parallélogramme.
  7. Deux parallélogrammes de même centre de symétrie.
  8. Construire un quadrilatère et démontrer que c'est un parallélogramme.
  9. Parallélogrammes construits à partir d'un triangle.
  10. Angles à côtés parallèles.
  11. Angles à côtés perpendiculaires
8. Du parallélogramme vers le rectangle, le losange, le carré. Les trapèzes.
  1. Le rectangle, un parallélogramme ayant un angle droit.
  2. Le rectangle, un parallélogramme ayant des diagonales égales. Cercle circonscrit.
  3. Le rectangle possède deux axes de symétrie perpendiculaires.
  4. Rectangles construits dans deux cercles sécants.
  5. Le losange, un parallélogramme avec deux côtés consécutifs égaux.
  6. Le carré possède à la fois les propriétés du rectangle et du losange.
  7. Le trapèze quelconque.
  8. Propriétés du trapèze rectangle et du trapèze isocèle.
  9. Cercle circonscrit au trapèze isocèle.
  10. Lieu géométrique des points M dont la somme des distances aux côtés d'un angle est fixée.
9. Reconnaître les quadrilatères remarquables par leurs propriétés. Exercices.
  1. Propriétés caractéristiques des quadrilatères remarquables.
  2. Propriétés nécessaires et suffisantes pour qu’un quadrilatère soit un parallélogramme.
  3. Propriétés nécessaires et suffisantes pour qu’un quadrilatère soit un rectangle.
  4. Propriétés nécessaires et suffisantes pour qu’un quadrilatère soit un losange.
  5. Propriétés nécessaires et suffisantes pour qu’un quadrilatère soit un carré.
  6. Propriétés nécessaires et suffisantes pour qu’un quadrilatère soit un trapèze.
  7. Lieu géométrique du milieu d'un segment et du sommet d'un rectangle.
  8. Quadrilatère formé par les bissectrices des angles d'un parallélogramme.
10. Projection sur une droite parallèlement à une direction. Théorème de Thalès.
  1. La projetés de points équidistants sont équidistants.
  2. Application de la projection : diviser un segment en segments égaux.
  3. Propriétés du segment joignant les milieux des côtés d’un triangle.
  4. Théorème de Thalès.
  5. Opérations permises sur des rapports égaux : transposition en diagonale.
  6. Relations utiles, résultant de la proportionnalité.
  7. Triangles semblables. Proportionnalité des trois côtés. Réciproque du théorème de Thalès.
  8. Déterminer des longueurs manquantes en utilisant le théorème de Thalès.
  9. Un parallélogramme inscrit dans un quadrilatère
  10. Application du théorème de Thalès et de sa réciproque.
  11. Dans un triangle rectangle, deux triangles rectangles symétriques.
  12. Relation de Ménélaüs entre des segments délimités par les côtés d'un triangle et deux parallèles.
11. Propriétés des droites concourantes dans un triangle : hauteurs, médianes, bissectrices.
  1. Cas d'égalité des triangles rectangles.
  2. Les hauteurs d’un triangle sont concourantes en un point appelé l’orthocentre.
  3. Les médianes d’un triangle sont concourantes en un point appelé centre de gravité.
  4. Les bissectrices intérieures d’un triangle sont concourantes : centre du cercle inscrit.
  5. Les bissectrices intérieures et extérieures d’un triangle sont concourantes : cercles exinscrits.
  6. Tracer au compas, la perpendiculaire à un segment passant par un point.
  7. Bissectrice d’un angle de sommet inaccessible.
  8. Somme des distances d’un point aux côtés d’un triangle équilatéral.
  9. Triangles isométriques dans un carré.
  10. Lieu des points dont le rapport des distances à deux points fixes est constant.
12. Positions d'une droite et d'un cercle et de deux cercles. Angle au centre et angle inscrit.
  1. Tangente à une courbe en un point.
  2. La tangente au cercle est perpendiculaire au rayon. Positions d’une droite par rapport à un cercle.
  3. Positions relatives de deux cercles. Cercles tangents, orthogonaux, concentriques.
  4. Lieu géométrique des milieux des cordes d’un cercle passant par un point.
  5. Angle au centre et angle inscrit dans un cercle. Points cocycliques.
  6. Angle intérieur, angle tangent, angle extérieur à un cercle.
  7. Deux angles intérieurs égaux dans un cercle.
  8. Tracer les bissectrices d’un triangle en utilisant le cercle circonscrit.
  9. En football, positions de tir sous un angle donné.
  10. Demi-cercle ayant le côté d’un carré pour diamètre.
  11. Symétriques de l'orthocentre d'un triangle par rapport à ses côtés.
  12. Droite de Simson d'un point M pour un triangle ABC.
13. Les aires du rectangle et des polygones. Théorème de Pythagore. Longueur des médianes.
  1. Définition du périmètre et de l’aire. Périmètres et aires du rectangle et du carré.
  2. L’aire du parallélogramme.
  3. L’aire d’un triangle quelconque.
  4. Aire d’un trapèze.
  5. Théorème de Pythagore et sa réciproque. Représentation géométrique.
  6. Deux autres démonstrations du théorème de Pythagore.
  7. Triangles rectangles dont on connaît l’hypoténuse et un côté de l’angle droit.
  8. Triangle rectangle isocèle, demi-triangle équilatéral.
  9. Construction géométrique de $\sqrt n$, racine carrée d’un entier.
  10. Relation entre la hauteur d’un triangle, le rayon du cercle circonscrit et les côtés.
  11. Somme et différence des carrés des distances d'un M point aux extrémités d'un segment [AB].
14. Les translations et les vecteurs du plan. Conservation des distances et des angles.
  1. Définition d'un vecteur. Egalité de deux vecteurs.
  2. Translation de vecteur $\overrightarrow u$ : image d'un point.
  3. Translation de sommets d'un parallélogramme : utiliser le bon vocabulaire.
  4. Translation d'une figure par un vecteur $\overrightarrow u$. La translation conserve les distances et les angles.
  5. Translatés d'un segment, d'une demi-droite d'une droite, d'un vecteur.
  6. Translation d'un triangle et de sa hauteur.
  7. Activité libre : dessiner une figure, la translater puis déterminer le vecteur translation.
  8. Le translaté d'un cercle est un cercle de même rayon.
  9. Propriétés de trois cercles de même rayon qui concourent au même point.
15. Rotation autour d'un point. Figures invariantes par rotation. Polygones réguliers.
  1. Définition de la rotation autour d’un point d’angle $\alpha$.
  2. La rotation autour d’un point conserve les distances et les angles. Image d'un cercle par rotation.
  3. Rotation d'un cercle autour de l'un de ses points. Image d'un point quelconque de ce cercle.
  4. Trouver la rotation qui fait correspondre deux segments de même longueur.
  5. Figure symétrique ou invariante par rotation: Symétries des polygones réguliers.
  6. Symétries du carré.
  7. Symétries de l’hexagone régulier.
  8. Symétries du pentagone régulier.
  9. Tracé et symétries de l’octogone régulier.
16. Périmètre du cercle, définition du nombre $\pi$. Aire du disque. Arc et secteur angulaire.
  1. Découvrir la proportionnalité du périmètre du cercle à son diamètre.
  2. Périmètres de polygones réguliers et du cercle.
  3. Le périmètre d'un cercle est proportionnel à son diamètre : définition du nombre $\pi$.
  4. Décalage des coureurs sur une piste d'athlétisme.
  5. L'aire du disque est proportionnelle à celle d'un carré de côté R avec $\pi$ pour coefficient.
  6. Théorème de Pythagore, demi-cercles et lunules d'Hippocrate.
  7. La longueur d'un arc de cercle.
  8. Distance entre deux villes de même longitude.
  9. Aire d'un secteur angulaire.
  10. Surface balayée par un essuie-glace.
17. Mesures d'un angle, lignes trigonométriques et leurs relations. Applications.
  1. Mesures d'un angle en radians et degrés.
  2. Rapports trigonométriques des angles aigus : cosinus, sinus, tangente et cotangente.
  3. Extension des rapports trigonométriques à un angle quelconque : le cercle trigonométrique.
  4. Mesures en radians et rapports trigonométriques des angles 30°, 45°, 60°, 120°, 135°, et 150°.
  5. Déterminer les côtés d'un triangle rectangle dont on connaît l'hypoténuse et un angle aigu.
  6. Relations entre les côtés et les angles d’un triangle quelconque. Théorème de Pythagore généralisée.
  7. Dans un triangle, les longueurs des côtés sont proportionnelles aux sinus des angles opposés.
  8. Distance à un lieu et netre deux lieux inaccessibles. Application du théorème Al-Kashi.
  9. Pente d'une droite. Application : pente d'une route.
  10. Angle avec l'horizontale d'une route de pente donnée.
  11. Relations entre les rapports trigonométriques résultant du théorème de Pythagore.
  12. Triangle équilatéral et un carré avec un côté commun.
18. Vecteurs du plan : addition, multiplication par un nombre, colinéarité, composantes.
  1. Définition et égalité de deux vecteurs.
  2. Somme de deux vecteurs. Vecteurs opposés. Vecteur nul.
  3. Exercices sur l'addition des vecteurs et sur leurs opposés.
  4. Multiplication d'un vecteur par un nombre. Vecteurs colinéaires. Théorème de Thalès vectoriel.
  5. Exercices sur la colinéarité.
  6. Vecteurs formés par des combinaisons linéaires de vecteurs.
  7. Composantes d'un vecteur dans une base. Propriétés des composantes de vecteurs colinéaires.
  8. Composante de vecteurs dans une base orthonormée.
  9. Propriétés de la médiane d'un triangle quelconque. Propriétés vectorielles du parallélogramme.
  10. Centre de gravité d'un triangle : propriétés vectorielles.
  11. Coordonnées cartésiennes d'un vecteur. Composantes d'une combinaison linéaire.
19. Les 3 cas de similitude. L'homothétie. La droite d'Euler et le cercle des 9 points.
  1. Compléments sur les triangles semblables. Les 3 cas de similitude.
  2. L'homothétie agrandit ou réduit une figure en conservant les angles et donne une figure semblable.
  3. Triangles et cercles homothétiques.
  4. Comparaison de deux homothéties de même rapport k, relativement à deux point $O$ et $O_1$.
  5. Points alignés dans un trapèze.
  6. Triangles homothétiques relativement à plusieurs centres d'homothétie.
  7. Déterminer les centres et les rapports d'homothétie de deux cercles quelconques.
  8. Triangle variable semblable à un triangle fixe, dans deux cercles sécants.
  9. Droite d'Euler dans un triangle. Cercle passant par neuf points
20. Composition de transformations du plan : actions successives d'opérateurs.
  1. Symétrie axiale vue comme une transformation. Composition de deux symétries d'axes parallèles.
  2. Composition de deux symétries axiales concourants. Décomposition d'une rotation.
  3. La symétrie centrale vue comme une transformation. Composition de deux symétries centrales.
  4. Composition d'une symétrie axiale et d'une symétrie centrale. Démonstration analytique.
  5. Symétriques de l'orthocentre d'un triangle par rapport aux côtés et cercle circonscrit.
  6. Deux segments égaux entre deux cercles concentriques.
  7. Composition de deux translations. L'ensemble des translations forme un groupe.
  8. Associativité du produit de transformations. Composition de deux rotations de même centre.

Compléments Mathématiques & Physique : Puissances positives et négatives de 10. Erreurs absolue et relative. Unités de longueur, périmètre du cercle. Aire des quadrilatères réguliers, aire du disque. Volumes dérivés du m3 et du litre. Volumes d’un parallélépipède, d’un prisme, d’un cylindre, d’un cône. Le temps, le pendule. Masse volumique. Pression, température, équation d’état.
Collège-Lycée 12-17 ans

1. Multiple de 10 sous forme de puissances positives.
  1. Les premières puissances positives de 10.
  2. Ecriture d'un multiple de 10 sous forme de puissance et inversement.
  3. Multiplication de deux ou plusieurs puissances de 10.
  4. Savoir multiplier des puissances de 10.
  5. Décomposition d'une puissance de 10 en facteurs puissances de 10.
  6. Compléter une décomposition de 10 en deux ou trois facteurs.
2. Dénomination des puissances de 10 les plus courantes.
  1. Puissances de 10 qui portent un nom en un seul mot.
  2. Décomposer une puissance de 10 en puissances de 10 pour obtenir le nom de cette puissance.
  3. Ecrire le nom du nombre affiché sous forme d'une puissance de 10.
  4. Savoir nommer les puissances de 10 jusqu'à dix milliards.
  5. Savoir nommer les puissances de 10 de cent milliards à cent milliards de milliards.
3. Divisions de puissances de 10. Valeur de $10^0$. Puissances négatives de 10.
  1. Division d'une puissance de 10 par une puissance de 10 inférieure.
  2. Quotient de deux puissances de 10 sous forme de puissance de 10.
  3. Introduction des puissances négatives de 10. Relation avec la notation décimale.
  4. Division d'une puissance de 10 par une puissance de 10 supérieure.
  5. Division de deux puissances de 10 égales. Valeur de 10 puissance 0.
  6. Inverse d'une puissance positive ou négative de10.
  7. Calcul d'inverses de puissances de 10.
  8. Multiplications divisions faisant intervenir des puissances de 10.
  9. Calcul de produits/quotients de puissances de 10.
4. Dénomination des sous multiples décimaux de 1 et puissances négatives.
  1. Sous multiples décimaux de 1 sous forme de puissances négatives. Noms en un seul mot.
  2. Sous multiples décimaux de 1 sous forme décimale et sous forme de puissance de 10.
  3. Sous multiples décimaux de 1 sous forme de puissances négatives. Noms en plusieurs mots.
  4. Ecrire un nombre décimal sous forme d'une puissance de 10.
  5. Convertir une puissance négative de 10 en nombre décimal.
5. Ecriture scientifique des nombres décimaux.
  1. Ecriture scientifique d'un nombre supérieur ou égal à 1.
  2. Ecriture d'un nombre entier supérieur à 1 sous forme canonique (scientifique).
  3. Ecriture d'un nombre décimal supérieur à 1 sous forme canonique (scientifique).
  4. Ecriture scientifique d'un nombre inférieur à 1.
  5. Ecriture d'un nombre inférieur à 1 sous forme canonique (scientifique).
6. Erreur absolue $e_a$ et erreur relative $e_r$ sur un nombre arrondi ou une mesure.
  1. Exemple d'arrondis sur le nombre $\pi$. Nombre de chiffres significatifs. Erreur absolue.
  2. Ordre de grandeur d'un nombre trés supérieur à 1.
  3. Ordre de grandeur d'un nombre trés inférieur à 1.
  4. Arrondir des nombres écrits sous forme canonique à 3, 2 et 1 décimale(s).
  5. Définition et calcul de l'erreur relative sur un nombre arrondi à n décimales.
  6. Variation de l'erreur relative avec la mantisse d'un nombre écrit sous forme canonique.
  7. Ecrire des nombres sous forme canonique et calculer les erreurs absolues et relatives.
  8. Nombre de chiffres significatifs en fonction de l’erreur de mesure ${\varepsilon_r}$
  9. Déterminer le nombre de décimales à afficher pour une erreur de mesure connue.
7. Le mètre (m) unité de longueur. Multiples et sous-multiples du mètre.
  1. François et Sandrine découvrent l'utilité d'une mesure commune.
  2. Comparer des distances en comptant des pas.
  3. Bref historique de la définition du mètre.
  4. Les sous-multiples du mètre.
  5. Rapports entre le mètre et ses sous-multiples.
  6. Convertir des sous-multiples du mètre en mètres.
  7. Convertir des mètres en sous-multiples du mètre.
  8. Les multiples du mètre. L'année-lumière.
  9. Convertir des multiples du mètre en mètres.
  10. Convertir des années-lumière en mètres.
8. Périmètre d'un cercle, le nombre $\pi$. Le radian. Trigonométrie. Diamètre apparent.
  1. Le périmètre d'un cercle est proportionnel à son diamètre. Le nombre $\pi$.
  2. Mesure du rayon d'une roue. Roue d'arpenteur.
  3. Mesure d'un angle en degrés et en radians. Longueur d'un arc de cercle.
  4. Rapports trigonométriques : cosinus, sinus, tangente et cotangente.
  5. Définition du diamètre apparent. Exemple.
  6. Diamètre apparent de la Lune au périgée et à l'apogée.
  7. Mesurer le diamètre apparent de la Lune à l'aide d'une pièce de monnaie.
  8. Comment Erastosthène a déterminé le rayon de la Terre avec très peu de moyens.
9. La masse à l'échelle atomique et nucléaire. Les premiers éléments chimiques.
  1. Le kilogramme (kg), unité de masse. Définition du kilogramme.
  2. Déterminer la masse d'un morceau de sucre.
  3. La masse en chimie et en physique moléculaire. La masse molaire, le nombre d'Avogadro.
  4. Masse d'une molécule de sucre. Nombre de molécules dans un morceau.
  5. La masse de l'atome d'hydrogène est concentrée dans le noyau : l'électron et le proton.
  6. Les noyaux contiennent deux types de particules : protons et neutrons. L'atome d'hélium.
  7. Les isotopes. Définition et exemples. Datation par le Carbone 14.
  8. Les mots justes.
  9. Unité de masse atomique u. Masse atomique du carbone.
10. Le temps et les phénomènes périodiques. La seconde, unité de temps.
  1. Exemples de phénomènes périodiques. Les montres à quartz. L'horloge atomique.
  2. Présentation d'un pendule expérimental. Mode d'utilisation.
  3. Variation de la période T avec l'amplitude et la longueur du pendule.
  4. La période d'un pendule est proportionnelle à la racine carrée de sa longueur.
  5. Etude et graphe de la période $T_0$ du pendule. Longueur pour $T_0$ = 1 seconde.
  6. Le pendule : Activité libre
  7. Activité libre avec axes.
11. Notion d'aire. Le $m^2$, unité dérivée du mètre : ses multiples et sous-multiples.
  1. Astucius mesure l'aire d'un rectangle à l'aide d'une plaque.
  2. Mesurer l'aire d'un rectangle à l'aide d'une plaque et ses sous-multiples.
  3. Le mètre-carré, $m^2$ et le décimètre carré $dm^2$. Formule de l'aire d'un rectangle.
  4. Variation de l'aire d'un rectangle suite à la variation des longueurs de ses côtés.
  5. Les sous-multiples du $m^2$.
  6. Conversions de sous multiples du mètre-carré en $m^2$.
  7. Convertir des mesures exprimées en sous-multiples du mètre carré en $m^2$.
  8. Convertir des $m^2$ en sous-multiples de cette unité.
  9. Les unités de surface multiples du $m^2$. Unités de surface agraires.
  10. Convertir des multiples du mètre-carré en $m^2$.
12. Aire des figures géométriques de base: parallèlogramme, triangle, trapèze, disque.
  1. L'aire d'un parallélogramme se déduit de celle d'un rectangle.
  2. Construire un parallélogramme et calculer son aire.
  3. L'aire d'un triangle se déduit de celle du parallélogramme.
  4. Calculer l'aire d'un triangle et déterminer les longueurs des hauteurs.
  5. L'aire d'un trapèze se déduit de celle du triangle.
  6. Encadrement de l'aire d'un disque par des polygones réguliers. A nouveau le nombre $\pi$.
  7. Comparaison de l'aire d'un disque à un carré. Quadrature du cercle.
  8. Aire d'une couronne circulaire. Son expression en fonction du rayon moyen.
  9. Graphes du périmètre d'un cercle et de l'aire d'un disque.
  10. Périmètres et aires pour des rayons dans un rapport d'une puissance de 10.
  11. Activité libre.
13. Le $m^3$, unité de volume. Sous multiples du $m^3$. Le litre et ses sous multiples.
  1. Le mètre-cube, $m^3$ et le décimètre-cube, $dm^3$.
  2. Ranger des $dm^3$ dans 1 $m^3$ et trouver la puissance de 10 qui convertit ces deux unités.
  3. Les sous-multiples "cubiques" du $m^3$.
  4. Conversions de sous multiples du mètre-cube en $m^3$.
  5. Convertir des mesures exprimées en sous-multiples du mètre-cube en $m^3$
  6. Convertir des $m^3$ en sous-multiples de cette unité.
  7. Le litre et ses sous-multiples décimaux.
  8. Convertir en mètre-cube des volumes exprimés en litre, décilitre, centilitre et millilitre.
  9. Volume du parallélépipède rectangle. Cas particulier du cube.
  10. Volumes d'objets parallélépipédiques.
14. Volume des figures géométriques élémentaires.
  1. Volume du parallélépipède droit.
  2. Volume d'un prisme droit.
  3. Volume d'un cylindre droit.
  4. Le litre en forme de parallélépipède rectangle.
  5. Le litre en forme de cylindre droit.
  6. Volume d'une boule et d'une écorce. Aire d'une sphère.
  7. Rayon, surface et volume de la Terre. Structure interne.
  8. Volume d'une pyramide et d'un cône.
  9. Le litre en forme de cône de révolution.
  10. La pyramide de Khéops connue sous le nom de grande pyramide de Gizeh.
15. Grandeurs physique dérivées. Masse volumique et densité.
  1. Variables extensives et variables intensives. La masse volumique $\rho$. La densité.
  2. Classer des substances liquides par ordre décroissant de masse volumique (ou densité).
  3. Déterminer la masse volumique d'un liquide en utilisant une éprouvette graduée et une balance.
  4. Exercices sur la masse volumique de liquides.
  5. Métaux et alliages. Masse volumique et volume massique. Température de fusion des métaux.
  6. Classer des métaux selon la masse volumique et selon la température de fusion.
  7. Exercices sur la masse volumique et le volume massique de solides.
16. Poids d'un corps, pression sur une surface. Gaz parfait, équation d'état.
  1. La gravitation : le poids d'un corps. Répartition d'une force en surface : la pression.
  2. Pression exercée par le poids d'un corps.
  3. Expérience de Torricelli. La pression atmosphérique. Pression hydrostatique.
  4. Exercices sur la pression hydrostatique.
  5. Température Celsius t et température thermodynamique (Kelvin) T.
  6. Volume molaire d'un gaz. Equation d'état. Gaz parfaits. Loi d'Avogadro.
  7. Volume de 1kg d'eau liquide, de glace, de vapeur d'eau à $t_1$ = 100°C à pression atmosphérique.
  8. Liquéfaction d'un gaz, température critique. Equation d'état de van der Waals.
  9. Etude de l'équation de van der Waals en coordonnées réduites.
  10. Mélange de gaz parfaits. Les gaz entrant dans la composition de l'air sec.
  11. Calcul de la masse molaire de l'air sec et de sa masse volumique.
  12. Activité libre. Consulter les tables, diagrammes, images de ce chapitre.
17. Erreurs sur une somme, un produit et un quotient de mesures. Encadrement.
  1. Encadrement de la valeur d'une grandeur dont l'erreur relative de mesure est connue.
  2. Arrondir aux décimales significatives et encadrements.
  3. L'erreur absolue sur une somme est la sommes des erreurs absolues des termes qui la composent.
  4. Somme des valeurs de même ordre de grandeur et erreur absolue correspondante.
  5. Somme de mesures de même ordre de grandeur, erreurs et chiffres significatifs.
  6. Somme de mesures d'ordre de grandeurs différents, erreurs et chiffres significatifs.
  7. L'erreur relative sur un quotient est la sommes des erreurs relatives des facteurs de N et D.
  8. Erreurs absolue et relative sur un quotient et encadrement du résultat.